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% Question multiple
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\begin{document}

\paragraph{Exercice 2 - ECRICOME 2011}
\subsection*{PARTIE I. Un jeu en ligne.}

\begin{enumerate}
\item Les positionnement sont d\'{e}termin\'{e}s par l'ensembles (sans
ordre) des 3 positions distinctes parmi 9.

il y en a donc $\binom{9}{3}=\frac{9\cdot8\cdot7}{3\cdot2\cdot1}=3\cdot
4\cdot7=84$

\item $\left( H\right) $ est form\'{e} de 3 positionnements : ligne 1, 2 ou
3, les positionnements \'{e}tant \'{e}quiprobables (on le suppose) donc $%
\mathrm{P}\left( H\right) =\dfrac{3}{84}$

$\left( V\right) $ est form\'{e} de 3 positionnements : colonne $A,$ $B$ ou $%
C$ donc $\mathrm{P}\left( V\right) =\dfrac{3}{84}$

$\left( D\right) $ comporte es deux diagonales descendants et ascendantes.
Donc $\mathrm{P}\left( D\right) =\dfrac{2}{84}$

\item $\left( H,V,D,N\right) $ \'{e}tant un syst\`{e}me complet d'\'{e}v\'{e}%
nements, 
\begin{align*}
\mathrm{P}\left( N\right) & =1-\mathrm{P}\left( V\right) -\mathrm{P}\left(
H\right) -\mathrm{P}\left( D\right) \\
& =1-\frac{8}{84}=1-\frac{2}{21} \\
& =\frac{19}{21}\simeq0.9048
\end{align*}

\item La soci\'{e}t\'{e} peut s'attendre \`{a} $10~000$ relances par jour de
ce jeu.

\begin{enumerate}
\item Pour chaque entier naturel $i$ non nul. on note $Z_{i}$ le gain de la
soci\'{e}t\'{e} \`{a} la $i^{\grave{e}me}$ relance.

Lors de la $i\grave{e}me$ relance, la soci\'{e}t\'{e} peux gagner 2 euros
(la mise) si $N$ ou en perdre 18 sinon.

Donc $Z_{i}\left( \Omega\right) =\left\{ 2,-18\right\} $. avec $\mathrm{P}%
\left( Z_{i}=2\right) =\mathrm{P}\left( N\right) =\frac{19}{21}$ et $\mathrm{%
P}\left( Z_{i}=-18\right) =\frac{2}{21},$ donc 
\begin{align*}
E\left( Z_{i}\right) & =2\frac{19}{21}-18\frac{2}{21} \\
& =\frac{38-36}{21}=\frac{2}{21}
\end{align*}

\textsl{Conclusion : }\fbox{$E\left( Z_{i}\right) =\frac{2}{21}\simeq0,1$}

\item le gain total est la somme des gains \`{a} chaque relance donc $Z=\sum
Z_{i}$ et $E\left( Z\right) =10000\cdot\frac{2}{21}\simeq1000$

\textsl{Conclusion : }\fbox{En moyenne, la soci\'{e}t\'{e} gagnera \`{a} peu
pr\`{e}s 1000\euro{} par jour }, mais elle peut esp\'{e}rer beaucoup plus !
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{PARTIE II. Cas de joueurs inv\'{e}t\'{e}r\'{e}s.}

\begin{enumerate}
\item Un Joueur d\'{e}cide de ,jouer $100$ parties cons\'{e}cutives que l'on
suppose ind\'{e}pendantes.

\begin{enumerate}
\item $X$ est le nombre de parties gagn\'{e}es en 100 parties ind\'{e}%
pendantes, la probabilit\'{e} de gagn\'{e} chacune \'{e}tant de $\frac{2}{21}
$

\textsl{Conclusion : }\fbox{$X\hookrightarrow\mathcal{B}\left( 100,\frac {2}{%
21}\right) $} (loi binomiale)

\item on a donc \textsl{\ }\fbox{$E\left( X\right) =\frac{200}{21}$ et $%
V\left( X\right) =\frac{2}{21}\frac{19}{21}10$} (formules du cours)

\item En 100 parties, $X$ sont gagn\'{e}es (gain $18X)$ et $100-X$ perdues
(perte $2\left( 100-X\right) $ )

La perte totale est donc $T=2\left( 100-X\right) -18X=200-20X$

(On peut compter diff\'{e}remment : il mise $200$ et re\c{c}oit $20$ par
partie gagn\'{e}e donc $20X)$

\textsl{Conclusion : }\fbox{$T=200-20X$}
\end{enumerate}

\item Avec $n$ parties au lieu de $100$, l'\'{e}v\'{e}nement $U=$ "gagner
au moins une partie" est l'\'{e}v\'{e}nement contraire de $\left(
X=0\right) $

$\mathrm{P}\left( X=0\right) =\binom{n}{0}\left( \frac{2}{21}\right)
^{0}\left( \frac{19}{21}\right) ^{n}$

Donc 
\begin{align*}
\mathrm{P}\left( U\right) & =1-\left( \frac{19}{21}\right) ^{n}\geq0.5 \\
& \Longleftrightarrow\left( \frac{19}{21}\right) ^{n}\leq\frac{1}{2} \\
& \Longleftrightarrow n\ln\left( \frac{19}{21}\right) \leq-\ln\left(
2\right) \text{ (attention }\ln\left( \frac{19}{21}\right) <0\text{)} \\
& \Longleftrightarrow n\geq\frac{-\ln\left( 2\right) }{\ln\left( \frac {19}{%
21}\right) }\simeq\frac{0,7}{0.1}
\end{align*}
\textsl{Conclusion : }\fbox{%
\begin{tabular}[t]{l}
il faut jouer au moins 7 (ou 8) partie pour en gagner au moins une \\ 
avec une probabilit\'{e} sup\'{e}rieure \`{a} 50\%%
\end{tabular}
}
\end{enumerate}

\subsection*{PARTIE III. Contr\^{o}le de la qualit\'{e} du jeu.}

On constate que, parfois, la fonction al\'{e}atoire est d\'{e}r\'{e}gl\'{e}%
e. Dans ce cas, elle place le premier jeton dans la case $\left( A,1\right) $
, les deux autres \'{e}tant plac\'{e}s au hasard dans les cases restantes.
On note $\Delta$ l'\'{e}v\'{e}nement \og la fonction al\'{e}atoire est d\'{e}%
r\'{e}gl\'{e}e\fg et on pose $\mathrm{P}\left( \Delta\right) =x$ avec $x\in%
\left] 0,1\right[ $.

\begin{enumerate}
\item Sachant $\Delta,$ les positions sont d\'{e}termin\'{e}es par la seule
combinaison des 2 autres positions parmi les 8 restantes.

Il y a donc $\binom{8}{2}=\frac{8\cdot7}{2\cdot1}=28$ positionnements
possibles et \'{e}quiprobables.

$\left( H\right) $ est \`{a} pr\'{e}sent r\'{e}duit \`{a} la ligne $1,$ $V$ 
\`{a} la colonne $A$ et $D$ \`{a} la diagonale descendante.

\textsl{Conclusion : }\fbox{$\mathrm{P}_{\Delta}\left( H\right) =\mathrm{P}%
_{\Delta}\left( V\right) =\mathrm{P}_{\Delta}\left( D\right) =\dfrac{1}{28} $%
}

\item On a donc $\mathrm{P}_{\Delta}\left( N\right) =1-\dfrac{3}{28}=\dfrac{%
25}{28}$

Sachant $\overline{\Delta},$ l'exp\'{e}rience se fait dans les conditions de
la partie $I$ et les probabilit\'{e}s sont donc celle de la partie I : $%
\mathrm{P}_{\overline{\Delta}}\left( N\right) =\dfrac{19}{21}$

$\left( \Delta,\overline{\Delta}\right) $ est un syst\`{e}me complet d'\'{e}v%
\'{e}nement donc 
\begin{align*}
\mathrm{P}\left( N\right) & =\mathrm{P}_{\overline{\Delta}}\left( N\right)
\cdot\mathrm{P}\left( \Delta\right) +\mathrm{P}_{\Delta}\left( N\right) \cdot%
\mathrm{P}\left( \Delta\right) \\
& =x\dfrac{25}{28}+\left( 1-x\right) \dfrac{19}{21} \\
& =x\dfrac{25}{4\cdot7}+\left( 1-x\right) \dfrac{19}{3\cdot7} \\
& =\frac{25\cdot3-19\cdot4}{3\cdot4\cdot7}x+\frac{19}{21} \\
& =-\frac{x}{84}+\frac{19}{21}
\end{align*}
\textsl{Conclusion : }\fbox{la probabilit\'{e} les jetons ne soient pas align%
\'{e}s est \'{e}gal \`{a} $\mathrm{P}\left( N\right) =-\dfrac{x}{84}+\dfrac{%
19}{21}$}

\item Soit $G$ la variable al\'{e}atoire \'{e}gale au gain r\'{e}alis\'{e}
par la soci\'{e}t\'{e} de jeu lors d'une partie jou\'{e}e.

On a donc $\mathrm{P}\left( G=2\right) =\mathrm{P}\left( N\right) $ et $%
\mathrm{P}\left( G=-18\right) =\mathrm{P}\left( \bar{N}\right) =1-\mathrm{P}%
\left( N\right) $

Donc 
\begin{align*}
E\left( G\right) & =2\left( -\frac{x}{84}+\frac{19}{21}\right) -18\left( 1+%
\frac{x}{84}-\frac{19}{21}\right) \\
& =-\frac{20}{84}x+\frac{2}{21}
\end{align*}

Donc 
\begin{align*}
E\left( G\right) & >0\Longleftrightarrow-\frac{20}{84}x+\frac{2}{21}>0 \\
& \Longleftrightarrow x<\frac{2}{21}\frac{84}{20}=\frac{2}{5}
\end{align*}

\textsl{Conclusion : }\fbox{le gain moyen reste positif tant que $x<\dfrac {2%
}{5}$}

\item On joue une partie. On constate que les jetons sont align\'{e}s.

la fonction al\'{e}atoire a \'{e}t\'{e} d\'{e}r\'{e}gl\'{e}e si $\Delta$

On cherche donc $\mathrm{P}_{\bar{N}}\left( \Delta \right) $ par la formule
de Bayes :%
\begin{align*}
\mathrm{P}_{\bar{N}}\left( \Delta \right) & =\frac{\mathrm{P}\left( \Delta
\cap \bar{N}\right) }{\mathrm{P}\left( \bar{N}\right) } \\
& =\frac{\mathrm{P}\left( \Delta \right) \mathrm{P}_{\Delta }\left( \bar{N}%
\right) }{\mathrm{P}\left( \bar{N}\right) } \\
& =\frac{x\cdot \frac{3}{28}}{1-\left( -\frac{x}{84}+\frac{19}{21}\right) }
\\
& =\frac{x\cdot \frac{3}{28}}{\frac{2}{21}+\frac{x}{84}}=\frac{9x}{x+8}
\end{align*}%
\textsl{Conclusion : }\fbox{%
\begin{tabular}[t]{l}
Si les jetons sont align\'{e}s, la fonction al\'{e}atoire a \'{e}t\'{e} d%
\'{e}r\'{e}gl\'{e}e \\ 
avec une probabilit\'{e} $\dfrac{9x}{x+8}$%
\end{tabular}
}
\end{enumerate}

\hrule

\paragraph{Exercice 3 - ECRICOME 2004}
Dans cet exercice, on \'{e}tudie l'exponentielle d'une matrice pour une
matrice carr\'{e}e d'ordre 3, puis d'ordre 2.

\subsection*{PARTIE I. Exponentielle d'une matrice carr\'{e}e d'ordre 3.}

Soient $A$, $P$ et $Q$ les matrice d\'{e}finies par : 
\[
A=\left( 
\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 1 \\ 
-1 & 1 & -1 \\ 
-2 & 0 & -2
\end{array}
\right) ,\quad P=\left( 
\begin{array}{rrr}
2 & 1 & 1 \\ 
-1 & 2 & -1 \\ 
1 & -1 & 1
\end{array}
\right), \quad Q =\left( 
\begin{array}{rrr}
1 & -2 & -3 \\ 
0 & 1 & 1 \\ 
-1 & 3 & 5
\end{array}
\right)
\]

\begin{enumerate}
\item Afin d'obtenir l'inverse de $P$, on peut utiliser Scilab :
\begin{verbatim}
--> P = [2 1 1 ; -1 2 -1 ; 1 -1 1]
--> inv(P)
\end{verbatim}

\item On remarque que $PQ =\left( 
\begin{array}{rrr}
2 & 1 & 1 \\ 
-1 & 2 & -1 \\ 
1 & -1 & 1
\end{array}
\right)\left( 
\begin{array}{rrr}
1 & -2 & -3 \\ 
0 & 1 & 1 \\ 
-1 & 3 & 5
\end{array}
\right) = I_3$. Donc $P$ est inversible et $P^{-1} = Q$. 

\item  On pose $T=P\,A\,P^{-1}.$

\begin{enumerate}
\item  On a \begin{eqnarray*}
T & =& P\left( 
\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 1 \\ 
-1 & 1 & -1 \\ 
-2 & 0 & -2
\end{array}
\right) \left( 
\begin{array}{rrr}
1 & -2 & -3 \\ 
0 & 1 & 1 \\ 
-1 & 3 & 5
\end{array}
\right)  \\
& = &\left( 
\begin{array}{rrr}
2 & 1 & 1 \\ 
-1 & 2 & -1 \\ 
1 & -1 & 1
\end{array}
\right) \left( 
\begin{array}{ccc}
0 & 2 & 3 \\ 
0 & 0 & -1 \\ 
0 & -2 & -4
\end{array}
\right)  \\
& = &\left( 
\begin{array}{ccc}
0 & 2 & 1 \\ 
0 & 0 & -1 \\ 
0 & 0 & 0
\end{array}
\right) 
\end{eqnarray*}

\item  Donc $T^{2}=\allowbreak \left( 
\begin{array}{ccc}
0 & 2 & 1 \\ 
0 & 0 & -1 \\ 
0 & 0 & 0
\end{array}
\right) \allowbreak \left( 
\begin{array}{ccc}
0 & 2 & 1 \\ 
0 & 0 & -1 \\ 
0 & 0 & 0
\end{array}
\right) =\left( 
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & -2 \\ 
0 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 0
\end{array}
\right) $

et $T^{3}=T^{2}T=\left( 
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & -2 \\ 
0 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 0
\end{array}
\right) \left( 
\begin{array}{ccc}
0 & 2 & 1 \\ 
0 & 0 & -1 \\ 
0 & 0 & 0
\end{array}
\right) =0$

Donc pour tout $n\ge 3,$ puis $T^{n}=T^{n-3}T^{3}=0$ (on peut d\'{e}velopper
la puissance car $n-3\ge 0$ )
\end{enumerate}

\item  On a alors 
\[
\forall n\ge 3,\quad A^{n}=PT^{n}P^{-1}=0
\]

\item  Pour tout r\'{e}el $t,$ on d\'{e}fint la matrice $E\left( t\right) $
par : 
\[
E\left( t\right) =I+tA+\frac{t^{2}}{2}A^{2}
\]
o\`{u} $I$ d\'{e}signe la matrice unit\'{e} d'ordre 3.

\begin{enumerate}
\item  on simplifie le produit en utilisant que $A^{3}=A^{4}=0$

\begin{eqnarray*}
E\left( t\right) E\left( t^{\prime }\right) =\left( I+tA+\frac{t^{2}}{2}%
A^{2}\right) \left( I+t^{\prime }A+\frac{t^{\prime 2}}{2}A^{2}\right)  \\
=I+\left( t+t^{\prime }\right) A+\left( \frac{t^{2}}{2}+t\,t^{\prime }+\frac{%
t^{\prime 2}}{2}\right) A^{2}+\left( t\frac{t^{^{\prime }2}}{2}+t^{\prime }%
\frac{t^{2}}{2}\right) A^{3}+\frac{t^{2}t^{\prime 2}}{4}A^{4} \\
=I+\left( t+t^{\prime }\right) A+\frac{1}{2}\left( t+t^{\prime }\right)
^{2}A^{2} \\
=E\left( t+t^{\prime }\right) 
\end{eqnarray*}

\textbf{N.B.} c'est cette propri\'{e}t\'{e} qui est caract\'{e}ristique de
l'exponentielle. ($e^{a+b}=e^{a}e^{b}$ )

\item  On a pour tout $t$ r\'{e}el, $E\left( t\right) E\left( -t\right)
=E\left( t-t\right) =E\left( 0\right) =I$

Donc $E\left( t\right) $ est inversible et $\displaystyle
E\left( t\right) ^{-1}=E\left( -t\right) =I-tA+\frac{t^{2}}{2}A^{2}$

\item  On a aussi par une r\'{e}currence imm\'{e}diate que $\left[ E\left(
t\right) \right] ^{n}=\displaystyle
E\left( nt\right) =I+nt\,A+\frac{\left( nt\right) ^{2}}{2}A^{2}$ pour tout
entier naturel $n.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{PARTIE II. Exponentielle d'une matrice carr\'{e}e d'ordre 2.}

Soient $B$ et $D$ les matrices d\'{e}finies par : 
\[
B=\left( 
\begin{array}{rr}
0 & -1 \\ 
2 & 3
\end{array}
\right) ,\quad D=\left( 
\begin{array}{rr}
1 & 0 \\ 
0 & 2
\end{array}
\right) , \quad
Q = \left( 
\begin{array}{rr}
1 & 1 \\ 
-1 & -2
\end{array}
\right).
\]

Pour out entier naturel $n$ nonnul, et pour tout r\'{e}el $t,$ on
d\'{e}finit la matrice $E_{n}\left( t\right) $ par : 
\[
E_{n}\left( t\right) =\sum_{k=0}^{n}\frac{t^{k}}{k!}B^{k}\;\text{que l'on
note\ }E_{n}\left( t\right) =\left( 
\begin{array}{rr}
a_{n}\left( t\right) & c_{n}\left( t\right) \\ 
b_{n}\left( t\right) & d_{n}\left( t\right)
\end{array}
\right) 
\]

\begin{enumerate}
\item $Q$ est inversible car $1 \times (-2) - (-1) \times 1 = -1 \neq 0$ et $Q^{-1} = \left( 
\begin{array}{rr}
2 & 1 \\ 
-1 & -1
\end{array}
\right)$.  


\item  On pose les calculs et on a bien $Q^{-1}BQ = D$

\item  On peut calculer l'inverse de $Q$ puis d\'{e}velopper $QD^{n}Q^{-1}$
ou proc\'{e}der par r\'{e}currence :

\begin{itemize}
\item  pour $n=0:\left( 
\begin{array}{cc}
2-2^{0} & 1-2^{0} \\ 
2^{0+1}-2 & 2^{0+1}-1
\end{array}
\right) =I=B^{0}$

\item  Soit $n\in \Bbb{N}$ tel que $B^{n}=\left( 
\begin{array}{cc}
2-2^{n} & 1-2^{n} \\ 
2^{n+1}-2 & 2^{n+1}-1
\end{array}
\right) $

alors $B^{n+1}=B^{n}B=\left( 
\begin{array}{cc}
2-2^{n} & 1-2^{n} \\ 
2^{n+1}-2 & 2^{n+1}-1
\end{array}
\right) \left( 
\begin{array}{rr}
0 & -1 \\ 
2 & 3
\end{array}
\right) =\allowbreak \left( 
\begin{array}{cc}
2-2^{n+1} & 1-2^{n+1} \\ 
2^{n+2}-2 & -1+2^{n+2}
\end{array}
\right) $

\item  Donc pour tout entier $n:B^{n}=\left( 
\begin{array}{cc}
2-2^{n} & 1-2^{n} \\ 
2^{n+1}-2 & 2^{n+1}-1
\end{array}
\right) $
\end{itemize}

\item  La somme $\displaystyle
\sum_{k=0}^{n}\frac{t^{k}}{k!}B^{k}$ de matrice se calcule terme \`{a}
terme. Donc 
\[
\forall n\in \Bbb{N},\quad a_{n}\left( t\right) =\sum_{k=0}^{n}\frac{t^{k}}{%
k!}\left( 2-2^{k}\right) =\sum_{k=0}^{n}\frac{2t^{k}-\left( 2t\right) ^{k}}{%
k!}
\]
et de m\^{e}me

\begin{eqnarray*}
b_{n}\left( t\right) =\sum_{k=0}^{n}\frac{t^{k}}{k!}\left( 2^{k+1}-2\right)
=\sum_{k=0}^{n}\frac{-2t^{k}+2\left( 2t\right) ^{k}}{k!} \\
c_{n}\left( t\right) =\sum_{k=0}^{n}\frac{t^{k}}{k!}\left( 1-2^{k}\right)
=\sum_{k=0}^{n}\frac{t^{k}-\left( 2t\right) ^{k}}{k!} \\
d_{n}\left( t\right) =\sum_{k=0}^{n}\frac{t^{k}}{k!}\left( 2^{k+1}-1\right)
=\sum_{k=0}^{n}\frac{-t^{k}+2\left( 2t\right) ^{k}}{k!}
\end{eqnarray*}

\item  En d\'{e}veloppant, on fait apparaitre des sommes partielles de
s\'{e}ries exponentielles :

\begin{eqnarray*}
a_{n}\left( t\right) =\sum_{k=0}^{n}\frac{2t^{k}-\left( 2t\right) ^{k}}{k!}%
=2\sum_{k=0}^{n}\frac{t^{k}}{k!}-\sum_{k=0}^{n}\frac{\left( 2t\right) ^{k}}{%
k!} \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} 2e^{t}-e^{2t} \\
\end{eqnarray*}
et de m\^{e}me 
\begin{eqnarray*}
b_{n}\left( t\right) =-2\sum_{k=0}^{n}\frac{t^{k}}{k!}+2\sum_{k=0}^{n}\frac{%
\left( 2t\right) ^{k}}{k!}\underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} -2e^{t}+2e^{2t} \\
c_{n}\left( t\right) =\sum_{k=0}^{n}\frac{t^{k}}{k!}-\sum_{k=0}^{n}\frac{%
\left( 2t\right) ^{k}}{k!}\underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} e^{t}-e^{2t} \\
d_{n}\left( t\right) =-\sum_{k=0}^{n}\frac{t^{k}}{k!}+2\sum_{k=0}^{n}\frac{%
\left( 2t\right) ^{k}}{k!}\underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} -e^{t}+2e^{2t}
\end{eqnarray*}
lorsque $n$ tend vers $+\infty .$

\item 
\begin{enumerate}
\item  On a donc bien 
\[
E\left( t\right) =\left( 
\begin{array}{cc}
2e^{t}-e^{2t} & e^{t}-e^{2t} \\ 
2e^{2t}-2e^{t} & 2e^{2t}-e^{t}
\end{array}
\right) 
\]

\item  On s\'{e}pare alors les termes : 
\begin{eqnarray*}
E\left( t\right) =\left( 
\begin{array}{cc}
2e^{t}-e^{2t} & e^{t}-e^{2t} \\ 
2e^{2t}-2e^{t} & 2e^{2t}-e^{t}
\end{array}
\right)  \\
=e^{t}\left( 
\begin{array}{cc}
2 & 1 \\ 
-2 & -1
\end{array}
\right) +e^{2t}\left( 
\begin{array}{cc}
-1 & -1 \\ 
2 & 2
\end{array}
\right) 
\end{eqnarray*}
donc $E_{1}=\left( 
\begin{array}{cc}
2 & 1 \\ 
-2 & -1
\end{array}
\right) $ et $E_{2}=\left( 
\begin{array}{cc}
-1 & -1 \\ 
2 & 2
\end{array}
\right) $ conviennent pour $E\left( t\right) =e^{t}E_{1}+e^{2t}E_{2}$

\item  On trouve alors :

$E_{1}^{2}=\left( 
\begin{array}{cc}
2 & 1 \\ 
-2 & -1
\end{array}
\right) \left( 
\begin{array}{cc}
2 & 1 \\ 
-2 & -1
\end{array}
\right) =\allowbreak \left( 
\begin{array}{cc}
2 & 1 \\ 
-2 & -1
\end{array}
\right) =E_{1}$

$E_{2}^{2}=\left( 
\begin{array}{cc}
-1 & -1 \\ 
2 & 2
\end{array}
\right) \left( 
\begin{array}{cc}
-1 & -1 \\ 
2 & 2
\end{array}
\right) =\allowbreak \left( 
\begin{array}{cc}
-1 & -1 \\ 
2 & 2
\end{array}
\right) =E_{2}$

$E_{1}E_{2}=\left( 
\begin{array}{cc}
-1 & -1 \\ 
2 & 2
\end{array}
\right) =\allowbreak \left( 
\begin{array}{cc}
0 & 0 \\ 
0 & 0
\end{array}
\right) $

et $E_{2}E_{1}=\left( 
\begin{array}{cc}
-1 & -1 \\ 
2 & 2
\end{array}
\right) \left( 
\begin{array}{cc}
2 & 1 \\ 
-2 & -1
\end{array}
\right) =\left( 
\begin{array}{cc}
0 & 0 \\ 
0 & 0
\end{array}
\right) $

\item  En s'inspirant de la partie pr\'{e}c\'{e}dente .... on calcule 
\begin{eqnarray*}
E\left( t\right) E\left( -t\right)  &=&\left( e^{t}E_{1}+e^{2t}E_{2}\right)
\left( e^{-t}E_{1}+e^{-2t}E_{2}\right)  \\
&=&e^{t-t}E_{1}^{2}+e^{t-2t}E_{1}E_{2}+e^{2t-t}E_{2}E_{1}+e^{2t-2t}E_{2}^{2}
\\
&=&E_{1}+E_{2} \\
&=&I
\end{eqnarray*}
Donc $E\left( t\right) $ est inversible et son inverse est $E\left(
-t\right) $
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
